Polygone

Définition formelle

Un polygone est une figure géométrique dans le plan. Il est constitué de la frontière de l’enveloppe convexe d’une séquence de points distincts $(A_{1}, A_{2}, ..., A_{n})$. Ces points sont appelés les sommets du polygone et l'ordre du polygone est son nombre $n$ de sommet. Dans ce cas, on parle aussi de $n$-gones au lieu de polygones.
Deux polygones ayant la même suite de sommets mais ne commençant pas par le même sommet sont identiques. Ainsi $(A_{1},A_{2},A_{3}) = (A_{2}, A_{3},A_{1})$.

Concepts associés

Les côtés du polygone sont les segments $[A_{i}, A_{i+1}]$ avec $i$ appartenant à $[1,n-1]$ ainsi que $[A_{n}, A_{0}]$.

Le périmètre d’un polygone, noté $P((A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}))$, est la somme des longueurs de ces segments dit autrement $P((A_{1}, A_{2}, ..., A_{n})) = \sum_{k=1}^{n-1} A_{k}A_{k+1} + A_{n}A_{0}$.

Un polygone est dit croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants, et simple si l’intersection de deux côtés est vide ou réduite à un sommet pour deux côtés consécutifs.

Un point $M$ est dit à l’intérieur d’un polygone $P$ si toutes les demi-droites partant de $M$ coupent le polygone $P$ en au moins un point.

L’intérieur d’un polygone est l’ensemble des points du plan qui sont à l’intérieur de $P$. L’aire d’un polygone est l’aire de son intérieur.

Vocabulaire

Polygones vient du grecque polus (plusieurs) et gonia (angle) qui signifie plusieurs angles.

On nomme les polygones à partir de l’ordre 3 par triangle pour trois angle du latin triangulum. Puis on parle de quadrilatères pour des polygones de quatre côtés du latin quadrilaterus. À partir de cinq côtés, on repasse au grec avec nombre+gone.

Nombre de côté	Nom du polygone
Cinq	pentagone
Six	hexagone
Sept	heptagone
Huit	octogone
Neuf	nonagone
Dix	décagone

...

Exemples

Les polygones d’ordre 1 sont des points de périmètre et d’aire nuls. Ceux d’ordre 2 sont des segments de périmètre le double de la longueur du segment et d’aire nulle.

Voici deux exemples de polygones d’ordre 5 et