Produit de convolution de Dirichlet

/!\ En chantier

Définition intuitive

Le produit de convolution de Dirichlet est une opération non-triviale sur l’ensemble des fonctions arithmétiques. Il permet souvent d’obtenir des identités et de prouver des propriétés de certaines fonctions arithmétiques.

Définition formelle

Soient $f,g$ deux fonctions arithmétiques. Le produit de convolution de $f$ par $g$, nommé convoluée et noté $f*g$ vaut
$$f*g = \sum_{d \mid n}f(d)g(n/d).$$Il est immédiat de voir que l’ensemble $\mathcal{A}$ des fonctions arithmétique muni de l’addition avec $0$ comme neutre forme un groupe abélien. On peut aussi montrer que l’ensemble des fonctions multiplicatives $\mathcal{M} \subset \mathcal{A}$ avec le produit de convolution et $\mathbf{1}_{\{1\}}$ comme neutre est également un groupe abélien.
Enfin, l’ensemble $\mathcal{A}$ avec l’addition et le produit de convolution est un anneau commutatif. Il est factoriel, mais pas noethérien ni artinien.

Exemples

• La fonction
  $\sigma_{1}$, qui renvoit la somme des diviseurs positifs d’un entier, est la convoluée de $\mathbf{1}$ et $\iota$.