Fonction multiplicative

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Définition

Une fonction arithmétique $f$ est dite multiplicative lorsque, pour tous $a, b \in \N^{*}$ copremiers, on a
$f(ab) = f(a)f(b).$ Si l’on peut se passer de l’hypothèse de coprimalité, on dit que $f$ est totalement multiplicative.

Le produit de convolution de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives est également multiplicatif.

Exemples

La fonction identité $\iota : n \mapsto n$
La fonction indicatrice d’Euler $\varphi$
La fonction de Möbius $\mu$

Practice this concept with exercises

Soit $\sigma$ la fonction arithmétique qui renvoie la somme des diviseurs positifs d’un entier. C’est-à-dire que, pour tout $n \in \N^{*}$ , on a
$\sigma(n) = \sum_{d \mid n}d.$ Démontrer que $\sigma$ est multiplicative.

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