spectre

Définition intuitive

Le spectre rassemble les nombres pour lesquels une matrice cesse d’être inversible après translation : les $\lambda$ tels que $A-\lambda I$ écrase l’espace. De façon équivalente, ce sont les facteurs d’échelle que la matrice applique à certaines directions privilégiées (les vecteurs propres) qu’elle se contente d’étirer sans les faire tourner. La métaphore optique du nom est juste : de même qu’un prisme décompose la lumière en fréquences, le spectre décompose l’action de la matrice en modes indépendants, et retrouver l’action complète revient à recombiner ces modes.

Définition formelle

Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Le spectre de $A$ sur $\mathbb{K}$ est
$$\operatorname{Sp}_{\mathbb{K}}(A)=\bigl\{\lambda\in\mathbb{K}\ :\ A-\lambda I_n \text{ n'est pas inversible}\bigr\}.$$

Trois caractérisations équivalentes, pour $\lambda\in\mathbb{K}$ :
$$\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\iff \ker(A-\lambda I_n)\neq\{0\}\iff \exists x\neq 0,\ Ax=\lambda x\iff \chi_A(\lambda)=0,$$où $\chi_A=\det(XI_n-A)$ est le polynôme caractéristique, unitaire de degré $n$. Le spectre est donc l’ensemble des racines de $\chi_A$ dans $\mathbb{K}$, et il compte au plus $n$ éléments.

Pour $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$, on distingue la multiplicité algébrique $m_a(\lambda)$, ordre de $\lambda$ comme racine de $\chi_A$, et la multiplicité géométrique $m_g(\lambda)=\dim\ker(A-\lambda I_n)$, avec toujours
$$1\leqslant m_g(\lambda)\leqslant m_a(\lambda).$$

Théorème. $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et $m_g(\lambda)=m_a(\lambda)$ pour toute valeur propre — ce qui équivaut à ce que le polynôme minimal $\mu_A$ soit scindé à racines simples.