Théorème de la bijection

Théorème de la bijection

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$.
Alors $f(I)$ est un intervalle et $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$.

Remarques

• Dans le cas où $f$ est strictement croissante, on a :

1. Si $I=[a,b]$, alors
   $$f(I)=[f(a),f(b)] \, ,$$
2. Si $I=]a,b]$, alors
   $$f(I)=] \lim_{x\to a^+} f(x),\,f(b)] \, ,$$
3. Si $I=[a,b[$, alors
   $$f(I)=[f(a),\,\lim_{x\to b^-}f(x)[ \, ,$$
4. Si $I=]a,b[$, alors
   $$f(I)=]\lim_{x\to a^+}f(x),\,\lim_{x\to b^-}f(x)[.$$

• Dans le cas où $f$ est strictement décroissante, les bornes de $f(I)$ sont inversées. Par exemple, si $I=[a,b]$, alors
  $$f(I)=[f(b),f(a)].$$