Uniformement continue

Définition intuitive

Contrairement à la continuité « classique », ici la continuité ne depend pas du point choisi.

Définition

Une fonction $f$ d’une partie $D$ de $\R^n$ à valeurs dans $\R^{p}$ est dite uniformément continue si $\forall \varepsilon>0,\ \exist \delta>0$, tel que $\forall (x,y)\in D^{2} : \Vert x-y\Vert_{\infty}<\delta\implies \Vert f(x)-f(y)\Vert_{\infty}<\varepsilon$

Exemples

Par exemple $f\colon x\mapsto x^2$ est continue mais pas uniformément continue, à mesure que l’on augmente $x$, la pente s’accentue et il nous faut donc addapter $\delta$ pour respecter la condition donnée par $\varepsilon$.