uniformement continue

Définition intuitive

Contrairement a la contuité 'classique' ici la continuité ne depend pas du point choisi.

Définition

Une fonction $f$ d’une partie $D$ de $\R^n$ à valeurs dans $\R^{p}$ est dite uniformément continue si
$\forall \epsilon>0, \exist \delta>0 ,\text{tel que }\forall (x,y)\in D^{2} : ||x-y||_{\infty}<\delta\implies ||f(x)-f(y)||_{\infty}<\epsilon$

Exemples

Par exemple $f(x)=x^2$ est continue mais pas uniformément continue, à mesure que l’on augmente $x$ la pente s’accentue et il nous faut donc addapter $\delta$ pour respecter la condition donné par $\epsilon$