Théorème de Heine

Soit $f$ une fonction réelle continue un segment.
On note $[a,b]$, où $b>a$ ce segment.

Supposons que par l’absrude que $f$ n’est pas uniformément continue sur $[a;b]$
Cela signifie qu’il existe $\epsilon_{0}>0$ tel que $\forall \eta > 0, \exists x,y \in [a,b], |x-y|\leq \eta \text{ et } |f(x)-f(y)|> \epsilon_{0}$

Ainsi, il existe deux suites $(x_{n})_{n}$ et $(y_{n})_{n}$ à valeurs dans $[a,b]$ telles que $\forall n \in \mathbb{N^{*}}, |x_{n}-y_{n}|\leq\frac{1}{n} \text{ et } |f(x_{n})-f(y_{n})|>\epsilon_{0}$.
La suite $(x_{n})_{n}$ étant bornée, par théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ une extractrice telle que $(x_{\phi(n)})_{n}$ converge vers $\alpha \in [a,b]$.
On a alors $\forall n \in \mathbb{N^{*}}, |x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)}|\leq\frac{1}{\phi(n)} \text{ et } |f(x_{\phi(n)})-f(y_{\phi(n)})|>\epsilon_{0}$.
Donc $x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \to 0$ donc $y_{\phi(n)} = x_{\phi(n)} - (x_{\phi(n)} - y_{\phi(n)}) \longrightarrow \alpha$
Par passage à la limite, et par continuité de f en $\alpha$, il vient que $0>\epsilon_{0}>0$, ce qui est contradictoire.
Donc f est uniformément continue sur $[a;b]$