Variété topologique

Définition intuitive

Une variété topologique est un espace dont chaque petite région ressemble à un morceau de $\mathbb R^n$.

Ainsi, l’espace peut être globalement courbé ou avoir une forme compliquée, tout en étant localement aussi simple qu’un espace euclidien.

Voici une variété topologique de dimension 2 : chaque point possède un voisinage semblable à un simple disque de $\mathbb{R}^{2}$ (ici, en bleu), même si la forme globale de l’espace est plus compliquée.

Définition formelle

Une variété topologique de dimension $n$ est un espace topologique $M$ qui est séparé, à base dénombrable, et qui est localement euclidien, c’est-à-dire que pour tout $p\in M$, il existe un voisinage ouvert^EN $U$ de $p$ et un homéomorphisme $\varphi:U\to V$ où $V$ est un ouvert de $\R^{n}$.

Remarques

• Le couple $(U,\varphi)$ est appelé carte locale sur la variété.