Vecteur vitesse d’une courbe sur une variété

Intuition

Sur une variété $M$, on ne peut pas définir directement le vecteur vitesse d’une courbe à partir de la dérivée.
On utilise donc des cartes locales. Deux courbes passant par un même point sont considérées comme ayant la même vitesse si leurs représentations en coordonnées locales ont la même dérivée.

Leur classe d’équivalence définit alors un vecteur tangent, indépendamment du choix des coordonnées.

Définition formelle

Soit $M$ une variété différentiable, $\gamma:]-1,1[\to M$ une courbe lisse telle que $\gamma(0)=p\in M$.

On appelle vecteur vitesse de $\gamma$ en $0$ le vecteur tangent à $M$ au point $p$ défini par la classe d’équivalence
$$\gamma'(0)=[\gamma]\in T_pM.$$

Remarques :

• Pour définir le vecteur vitesse en un instant quelconque $t_0$, on se ramène au cas précédent en considérant la courbe $s\mapsto\gamma(t_0+s)$, définie au voisinage de $0$. Ainsi :
  $$\gamma'(t_0)=[s\mapsto\gamma(t_0+s)]\in T_{\gamma(t_0)}M.$$