1,2,3... Shoot !

Le résultat vient du fait que $2027$ est impair. En effet, considérons un participant, noté $1$, et supposons qu’il ne tire pas sur quelqu’un qui lui tire dessus à son tour. Notons que l’imparité de $2027$ force l’existence d’un tel participant car on ne peut pas mettre tous les participants par groupe de deux.

Notons d’abord qu’il est forcé d’y avoir un cycle de personnes, notées $1,2,\dots, p$, qui se tirent dessus. On entend par là que la personne $2$ va tirer sur $1$, puis $3$ va tirer sur $2$ et ainsi de suite jusqu’à $p$ qui va tirer sur $1$. Ceci est dû au fait que la chaîne des participants qui se tirent dessus est contrainte de se refermer car il y a un nombre fini de personnes, et on suppose qu’aucune d’entre elle ne se fait pas tirer dessus sinon le résultat est déjà là.

On définit $d_i$ la distance entre $i$ et $i+1$. Mais vu que $i+1$ tire sur $i$ qui tire sur $i-1$, c’est donc que $i-1$ est plus proche de $i$ que ne l’est $i+1$. Ainsi $d_i>d_{i-1}$ et ce, pour tout $i$. On peut ainsi écrire $d_1<d_2<\dots<d_{p-1}<d_p$. Mais le résultat est encore vrai pour $i=p$, soit $d_p<d_1$. Mais alors on trouve que $d_1<d_p<d_1$, ce qui est absurde.
Sauf dans un seul cas: s’il n’existe que deux personnes dans le cycle. Dans cette situation, $1$ tire sur $2$ qui tire sur $1$ et la boucle est bouclée. Or on a supposé que $1$ ne tirait pas sur quelqu’un qui lui tire dessus. Donc on a notre résultat!