1,2,3... Shoot !

You and 2026 other people participate to a new season of Squid Game.

The first game is simple but quite mean. You are all in a dark room with one gun and one bullet each. When the light goes back, you will shoot the closest person you see (assume there is at most one).
We assume that every shot will be fired at the same time.

Show that at least one of you will survive this ordeal.

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Solution by Anduril

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Let’s proceed by induction to show that in 2n+1 people, at least one survives.
For 1 person, it is obvious (assuming that he is not suicidal).
Assume that the resultat was shown for 2n-1 people, let 2n+1 people play the game.
We have a finite set of distances, which has a minimum reached for at least a pair of 2 persons a and b. Due to the minimality of the chosen distance, they shoot each other (here we use the unicity of the closest neighbour, as assumed in the problem).
If one man from the 2n-1 remaining also shoots one of those 2, they have not enough bullets to be all shot.
If not, we apply the inductive hypothesis to the independant set of 2n-1 people who act as if a and b did not exist.

Solution by SequoiaFR

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Le résultat vient du fait que $2027$ est impair. En effet, considérons un participant, noté $1$ , et supposons qu’il ne tire pas sur quelqu’un qui lui tire dessus à son tour. Notons que l’imparité de $2027$ force l’existence d’un tel participant car on ne peut pas mettre tous les participants par groupe de deux.

Notons d’abord qu’il est forcé d’y avoir un cycle de personnes, notées $1,2,\dots, p$ , qui se tirent dessus. On entend par là que la personne $2$ va tirer sur $1$ , puis $3$ va tirer sur $2$ et ainsi de suite jusqu’à $p$ qui va tirer sur $1$ . Ceci est dû au fait que la chaîne des participants qui se tirent dessus est contrainte de se refermer car il y a un nombre fini de personnes, et on suppose qu’aucune d’entre elle ne se fait pas tirer dessus sinon le résultat est déjà là.

On définit $d_i$ la distance entre $i$ et $i+1$ . Mais vu que $i+1$ tire sur $i$ qui tire sur $i-1$ , c’est donc que $i-1$ est plus proche de $i$ que ne l’est $i+1$ . Ainsi $d_i>d_{i-1}$ et ce, pour tout $i$ . On peut ainsi écrire $d_1<d_2<\dots<d_{p-1}<d_p$ . Mais le résultat est encore vrai pour $i=p$ , soit $d_p<d_1$ . Mais alors on trouve que $d_1<d_p<d_1$ , ce qui est absurde.
Sauf dans un seul cas: s’il n’existe que deux personnes dans le cycle. Dans cette situation, $1$ tire sur $2$ qui tire sur $1$ et la boucle est bouclée. Or on a supposé que $1$ ne tirait pas sur quelqu’un qui lui tire dessus. Donc on a notre résultat!

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