1,2,3... Shoot !

Vous et 2 026 autres personnes participez à une nouvelle saison de Squid Game.

Le premier jeu est simple, mais assez cruel. Vous vous trouvez tous dans une pièce sombre, avec chacun un pistolet et une balle. Lorsque la lumière s’allumera, vous tirerez sur la personne la plus proche que vous verrez (en supposant qu’il n’y en ait qu’une au maximum).
On supposera que tous les coups de feu seront tirés en même temps.

Montrez qu’au moins l’un d’entre vous survivra à cette épreuve.

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Solution by AndurilEN

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Let’s proceed by induction to show that in 2n+1 people, at least one survives.
For 1 person, it is obvious (assuming that he is not suicidal).
Assume that the resultat was shown for 2n-1 people, let 2n+1 people play the game.
We have a finite set of distances, which has a minimum reached for at least a pair of 2 persons a and b. Due to the minimality of the chosen distance, they shoot each other (here we use the unicity of the closest neighbour, as assumed in the problem).
If one man from the 2n-1 remaining also shoots one of those 2, they have not enough bullets to be all shot.
If not, we apply the inductive hypothesis to the independant set of 2n-1 people who act as if a and b did not exist.

Solution by Sequoia

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Le résultat vient du fait que $2027$ est impair. En effet, considérons un participant, noté $1$ , et supposons qu’il ne tire pas sur quelqu’un qui lui tire dessus à son tour. Notons que l’imparité de $2027$ force l’existence d’un tel participant car on ne peut pas mettre tous les participants par groupe de deux.

Notons d’abord qu’il est forcé d’y avoir un cycle de personnes, notées $1,2,\dots, p$ , qui se tirent dessus. On entend par là que la personne $2$ va tirer sur $1$ , puis $3$ va tirer sur $2$ et ainsi de suite jusqu’à $p$ qui va tirer sur $1$ . Ceci est dû au fait que la chaîne des participants qui se tirent dessus est contrainte de se refermer car il y a un nombre fini de personnes, et on suppose qu’aucune d’entre elle ne se fait pas tirer dessus sinon le résultat est déjà là.

On définit $d_i$ la distance entre $i$ et $i+1$ . Mais vu que $i+1$ tire sur $i$ qui tire sur $i-1$ , c’est donc que $i-1$ est plus proche de $i$ que ne l’est $i+1$ . Ainsi $d_i>d_{i-1}$ et ce, pour tout $i$ . On peut ainsi écrire $d_1<d_2<\dots<d_{p-1}<d_p$ . Mais le résultat est encore vrai pour $i=p$ , soit $d_p<d_1$ . Mais alors on trouve que $d_1<d_p<d_1$ , ce qui est absurde.
Sauf dans un seul cas: s’il n’existe que deux personnes dans le cycle. Dans cette situation, $1$ tire sur $2$ qui tire sur $1$ et la boucle est bouclée. Or on a supposé que $1$ ne tirait pas sur quelqu’un qui lui tire dessus. Donc on a notre résultat!

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