A cow issue

Soit $n \ge 1$. On numérote les vaches et leurs masses de 1 à 2n+1 : on définit donc le vecteur des masses $M=(m_{i})_{i \in [\![1,2n+1]\!]}$ associées à chacune des vaches. Si une vache est dans le groupe 1, on compte sa masse positivement et si elle est dans le groupe 2 on la compte négativement. Ainsi, comme les masses des 2 groupes sont égales, la somme des masse des 2 groupes fait 0. Puis on pose arbitrairement une matrice avec une diagonale de 0 et ses autres coefficients égals à $\pm 1$ avec autant de +1 que de -1.
$$A = {\begin{pmatrix} 0 & 1& -1&\cdots & 1\\ 1 & 0 &-1& \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1&-1& 1 & \cdots & 0\\ \end{pmatrix} } _{[2n+1]}$$

D’après l’énoncé, on a donc :

$\\M \in \ker(A)$. D’autre part, trivialement, le vecteur
${\begin{pmatrix} 1\\1\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}} \in \ker(A)$. Montrons donc que $rg (A)=2n$. C’est-à-dire que une sous-matrice principale de A arbitrairement choisie, notée $A^{*}$, doit être de déterminant non nulle. On choisit ici d’enlever la 1ère ligne et la première colonne : On calcule alors $\det(A^{*}) =$
$$\left[ {\begin{array}{cccc} 0&-1 & \cdots & -1\\ 1 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -1 & 1 & \cdots & 0\\ \end{array} } \right]_{[2n]}$$On se place modulo 2, ce qui donne : $\det(A^{*})=$
$$\left[ {\begin{array}{cccc} 0& 1 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1& \cdots & 0\\ \end{array} } \right]_{[2n]}$$= $\det(J_{2n}-I_{2n}$)
Avec $J_{k}=(1)_{1\le i,j \le k}$. Or, $\forall k \in \mathbb{N}, k \ge 2, J_{k} \notin GL_{n}(\mathbb{R})$. Donc, au contraire, $\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2, (J_{2n}-I_{2n}) \in GL_{n}(\mathbb{R})$ Donc, $\det(A^{*}) \neq \text{0 mod[2]}.$ Donc, $det (A^{*})\neq\text{0 et par conséquent} \dim( \ker(A))=1$ Et donc $M \in Vect{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \\\end{pmatrix} }$. Ainsi, toutes les vaches ont la même masse.