A functional equation

Soit $a \in [0,1[$
On pose $M_{0}=\max\{|f(x)-f(0)|, x \in [0,a]\}$, qui existe car $f$ est continue sur $[0,a]$, donc compact sur $[0,a]$.
On note $x_{0} \in [0,a]$ tel que $M_{0}=|f(x_{0})-f(0)|$
Alors, en appliquant la relation,
$$M_{0}=|f(x_{0})-f(0)|=\left| \sum_{n \geq 1} \frac{f(x_{0}^{n})-f(0)}{2^{n}} \right| \leq \sum_{n \geq 1} \frac{\left| f(x_{0}^{n})-f(0) \right|}{2^{n}} \leq \sum_{n \geq 1} \frac{M_{0}}{2^{n}} = M_{0}$$Ainsi, on a un cas d’égalité dans la deuxième inégalité, donc $\forall n \geq 1, \left| f(x_{0}^{n})-f(0) \right|=M_{0}$
Or $0\leq x_{0} \leq a < 1$, donc $x_{0}^{n} \to 0$.
Par continuité de $f$ en $0$, $f(x_{0}^{n}) \to f(0)$.
Donc par passage à la limite, $M_{0}=0$.
Donc $\forall x \in [0,a], 0\leq|f(x)-f(0)|\leq 0$, donc $\forall x \in [0,a], f(x)=f(0)$.
On a montré ce résultat pour tout $0\leq a<1$.
On considère donc la suite $0\leq a_{n}=1-\frac{1}{n}<1$, donc $\forall n \in \mathbb{N^{*}}, f(a_{n})=f(0), \text{ et } f(a_{n}) \to f(1)$ par continuité de $f$ en 1.
Donc $f(1)=f(0)$.
Il vient que $f$ est constante sur $[0,1]$.
Réciproquement, si $f$ est constante sur $[0,1]$, $f=c \in \mathbb{R}$:
$$\forall x \in [0, 1], f(x) = c = \frac{1}{2} \frac{c}{1-1/2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{c}{2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x^{n})}{2^n}$$

Donc l’ensemble des solutions sont les fonctions constantes sur $[0;1]$.