Est-ce qu’une permutation peut sauver la série ?

On considère $S_{2n}-S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{\sigma(k)}{k^{2}}\geq \dfrac{1}{(2n)^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)$. Mais une somme de $n$ entiers distincts est minorée par $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Ainsi,
$$S_{2n}-S_{n}\geq \dfrac{n+1}{8n}\geq \dfrac{1}{8}.$$La série ne peut donc pas converger car alors la différence $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0.$