Automorphismes de $\mathfrak{S}_n$

Soit $n$ un entier naturel différent de $\mathbf{6}$ et $\phi$ un automorphisme du groupe des permutations $\mathfrak{S}_n$.

1. Déterminer le cardinal de la classe de conjugaison d’une permutation $\sigma$ appartenant à $\mathfrak{S}_n$. On pourra pour cela noter $k_i$ le nombre de cycles de taille $i$ de sa décomposition en cycles à supports disjoints.
2. Montrer que $\phi$ envoie les transpositions sur les transpositions.
3. En déduire qu’il existe $a\in\mathfrak{S}_n$ tel que $\phi=\sigma\longmapsto a\circ\sigma\circ a^{-1}$, on dit que $\phi$ est intérieur.
4. Que se passe-t-il pour $n=6$ ?