Caractères de $\Z$

Soit $\chi:\Z\rightarrow \C^{\times}$ un caractère. Comme c’est un morphisme de groupes, on a, pour tout entier $n\geq 0$ :
$$\chi(n)=\chi(1+1+\ldots+1)=\chi(1)\times\ldots \times \chi(1)=\chi(1)^{n}.$$Pour $n<0$, on a
$$\chi(n)=\chi(-(-n))=\chi(-n)^{-1}=\chi(1)^n.$$

Ainsi, tout caractère de $(\Z,+)$ est de la forme $\chi(n)=a^{n}$ avec $a$ un nombre complexe non nul (puisqu’un caractère est à valeurs dans $\C^{*}$).
Réciproquement, on vérifie qu’une telle application $\chi(n)=a^{n}$ est bien un caractère :
$$\chi(n+m)=a^{n+m}=a^na^m=\chi(n)\chi(m).$$