Cardinal d’espace vectoriel d’un corps fini

Cardinal de $E$

Fixons une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$. L’application
$$\mathbb{K}^{n}\longrightarrow E,\qquad (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$$est bijective, par existence et unicité des coordonnées dans une base. Donc
$$\operatorname{card}(E)=\operatorname{card}(\mathbb{K}^{n})=q^{n}.$$

Cardinal de $\mathcal{L}(E)$

Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base, et ces images peuvent être choisies librement dans $E$. L’application
$$\mathcal{L}(E)\longrightarrow E^{n},\qquad u\longmapsto\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$$est donc bijective, d’où
$$\operatorname{card}\bigl(\mathcal{L}(E)\bigr)=\bigl(q^{n}\bigr)^{n}=q^{n^{2}}.$$C’est cohérent avec l’isomorphisme $\mathcal{L}(E)\simeq\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ : une matrice a $n^{2}$ coefficients, chacun libre dans $\mathbb{K}$.

Nombre de bases de $E$

Construisons une base $(v_1,\dots,v_n)$ vecteur par vecteur. Supposons $v_1,\dots,v_k$ déjà choisis et libres ; le vecteur $v_{k+1}$ convient si et seulement s’il n’appartient pas au sous-espace $F_k=\operatorname{Vect}(v_1,\dots,v_k)$, qui est de dimension $k$ donc de cardinal $q^{k}$. Le nombre de choix pour $v_{k+1}$ est ainsi $q^{n}-q^{k}$, et ce nombre ne dépend pas des vecteurs déjà retenus, seulement de $k$. En multipliant les choix successifs pour $k=0,1,\dots,n-1$ :
$$\#\{\text{bases de } E\}=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(q^{n}-q^{k}\bigr)=\bigl(q^{n}-1\bigr)\bigl(q^{n}-q\bigr)\cdots\bigl(q^{n}-q^{n-1}\bigr).$$

Cardinal de $\mathrm{GL}(E)$

Un endomorphisme $u$ est bijectif si et seulement si l’image d’une base est une base. L’application
$$\mathrm{GL}(E)\longrightarrow\{\text{bases ordonnées de } E\},\qquad u\longmapsto\bigl(u(e_1),\dots,u(e_n)\bigr)$$est donc bien définie ; elle est injective car une application linéaire est déterminée par les images d’une base, et surjective car toute base est l’image de $(e_1,\dots,e_n)$ par un unique isomorphisme. D’où
$$\operatorname{card}\bigl(\mathrm{GL}(E)\bigr)=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(q^{n}-q^{k}\bigr).$$

En factorisant $q^{k}$ dans chaque facteur, on obtient la forme courante :
$$\bigl|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\bigr|=q^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{k=1}^{n}\bigl(q^{k}-1\bigr).$$