Formule du déterminant de Cauchy

Soient $x_{1},\dots,x_{n},y_{1},\dots,y_{n}$ des nombres complexes indéterminés. Le but de cet exercice est de calculer le déterminant de Cauchy:
$$C_{n}(x_{1},\dots,y_{n}):=\mathrm{det}\left(\left(\frac{1}{x_{i}+y_{j}}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\right).$$

1. Montrer qu’il existe un polynôme $P$ en les variables $x_{1},\dots,x_{n},y_{1},\dots,y_{n}$ tel que
   $$C_{n}(x_{1},\dots,y_{n})=\frac{P(x_{1},\dots,y_{n})}{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_{i}+y_{j})}$$et exprimer son degré. On rappelle que le degré d’un polynôme de plusieurs variables est égal au maximum de la sommes des puissances de chaque variable dans chaque monôme. Par exemple$7+x_{1}x_{n}+y_{1}^{3}x_{2}$ est un polynome de degré $4$ en tant que somme de monômes de degrés $0,2$ et $4$ respectivement.

2. Calculer $C_{n}$ dans le cas où deux $x_i$ sont égaux. Faire de même si deux $y_i$ sont égaux.

3. En déduire qu’il existe un scalaire $\alpha$ (qu’on explicitera à la question qui suit) tel que
   $$P_{n}(x_{1},\dots,y_{n})=\alpha\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})$$

4. Fixons les variables $x_{2},\dots,x_{n},y_{2},\dots,y_{n}$ et considérons $Q(x_{1},y_{1})$ le polynôme de deux variables tel que $Q(x_{1},y_{1}):=P(x_{1},\dots,y_{n})$. Exprimer son degré ainsi que son coefficient dominant pour en déduire que $\alpha=1$.

On déduit alors des questions précédentes la relation
$$\boxed{\mathrm{det}\left(\left(\frac{1}{x_{i}+y_{j}}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\right)=\frac{\displaystyle\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\displaystyle\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_{i}+y_{j})}}$$

5. Application: Démontrer la formule du déterminant de la matrice de Hilbert:
   $$\mathrm{det}\left(\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\right)=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(k!)^{3}}{(k+n)!}.$$