Compacité des ensembles finis

Soit $X=\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$ un ensemble fini, et soit un recouvrement de $X$ par des ouverts.

Pour chaque $j$ entre $1$ et $n$, il existe un ouvert du recouvrement, disons $O_{j}$, contenant $x_{j}$.
Alors, les ouverts $O_{1},\ldots,O_{n}$ (qui ne sont pas forcément distincts !) forment un sous-recouvrement fini de $X$.