Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/TopologyExerciseReviewed

Compacité des ensembles finis

by Ancient Tree·
40
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Montrer qu’un ensemble fini est compact pour la topologie discrèteEN.

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Solution by Ancient Tree

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Soit X={x1,…,xn}X=\{x_{1},\ldots,x_{n}\} un ensemble fini, et soit un recouvrement de XX par des ouverts.

Pour chaque jj entre 11 et nn, il existe un ouvert du recouvrement, disons OjO_{j}, contenant xjx_{j}.
Alors, les ouverts O1,…,OnO_{1},\ldots,O_{n} (qui ne sont pas forcément distincts !) forment un sous-recouvrement fini de XX.

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