Complémentaires connexes par arcs et denses

Oui. On peut même exiger que les deux parties soient réunions de segments et que tout couple de points de la seconde soit joint par une ligne brisée à deux segments.

Notons $\mathbb{Q}^{3}$ l’ensemble des points à coordonnées rationnelles, qui est dénombrable et dense, et posons
$$A=\bigcup_{\substack{p,q\in\mathbb{Q}^{3}\\ p\neq q}}(pq),\qquad B=\mathbb{R}^{3}\setminus A,$$où $(pq)$ désigne la droite affine passant par $p$ et $q$. L’ensemble $A$ est une réunion dénombrable de droites, les couples de points rationnels étant en nombre dénombrable.

Montrons que $A$ est dense et connexe par arcs :
La densité est immédiate : $\mathbb{Q}^{3}\subseteq A$.
Soit $x\in A$, situé sur une droite $(pq)$ avec $p,q\in\mathbb{Q}^{3}$. Le segment $[x,p]$ est contenu dans $(pq)$, donc dans $A$ : tout point de $A$ se relie dans $A$ à un point de $\mathbb{Q}^{3}$. Par ailleurs, deux points rationnels distincts $p,p'$ sont joints par le segment $[p,p']\subseteq(pp')\subseteq A$. En concaténant, deux points quelconques de $A$ sont joints par un chemin tracé dans $A$.

Montrons que $B$ est dense :
Chaque droite est de mesure de Lebesgue nulle dans $\mathbb{R}^{3}$, donc $A$ l’est aussi comme réunion dénombrable de négligeables. Toute boule ouverte étant de mesure strictement positive, elle ne peut être contenue dans $A$ : elle rencontre $B$.

Montrons que $B$ est connexe par arcs :
Soient $p,q\in B$. Pour une droite $\ell\subseteq A$, posons $C_p(\ell)=\bigl\{m\in\mathbb{R}^{3}\ :\ [p,m]\cap\ell\neq\varnothing\bigr\}.$
Comme $p\in B$, on a $p\notin\ell$, donc $p$ et $\ell$ engendrent un unique plan affine $P_\ell$. Tout segment issu de $p$ et rencontrant $\ell$ est contenu dans ce plan, d’où $C_p(\ell)\subseteq P_\ell$ : c’est un ensemble négligeable. Il en va de même de $C_q(\ell)$.

L’ensemble $A$ étant une réunion dénombrable de droites $(\ell_k)$, la réunion $\bigcup_{k}\bigl(C_p(\ell_k)\cup C_q(\ell_k)\bigr)$ est négligeable, donc distincte de $\mathbb{R}^{3}$. Choisissons $m$ en dehors : les segments $[p,m]$ et $[m,q]$ ne rencontrent aucune droite de $A$, donc sont contenus dans $B$. La ligne brisée $[p,m]\cup[m,q]$ joint $p$ à $q$ dans $B$. $\blacksquare$