Connexité de $[0,1]$

1. Supposons que $A$ est connexe. Par continuité de $f$, comme on considère ici la topologie discrète sur $\{0,1\}$, alors $\{0\}$ et $\{1\}$ sont tous deux ouverts (et donc fermés puisqu’ils sont complémentaires l’un de l’autre). Par continuité de $f$, on a donc que $f^{-1}(\{0\})$ et $f^{-1}(\{1\})$ sont également ouverts et fermés dans $A$, et leur union fait $A$ ; donc par connexité de $A$, cela n’est possible que si l’un des deux est vide, ce qui signifie que l’autre est $A$ tout entier, d’où $f$ est constante sur $A$.

Pour la réciproque, on va raisonner par contraposée, supposons que $A$ n’est pas connexe, et donc s’écrit comme une union disjointe $B\cup C$ avec $B$ et $C$ non vides. Mais alors, on peut définir une fonction $f$ valant $0$ sur $B$ et valant 1 sur $C$, et cette fonction est continue, autrement dit "toutes les fonctions de $A$ dans $\{0,1\}$ sont constantes" est fausse. C’est exactement la contraposée.

2. Soit $f:[0,1]\rightarrow \{0,1\}$ une fonction continue. En particulier, on peut la voir comme une fonction de $[0,1]$ dans $\R$.

Est-elle toujours bien continue avec ce changement de codomaine ? Oui : l’image réciproque d’un ouvert $O$ de $\R$ est automatiquement égale soit à l’ensemble vide, soit à $f^{-1}(\{0\})$, soit à $f^{-1}(\{1\})$, soit $A$ tout entier (selon si l’ouvert $O$ contient $0$ ou $1$). Mais ces parties de $A$ sont des ouverts par définition de la topologie discrète sur $\{0,1\}$.
Or, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, si elle prend deux valeurs différentes, elle doit aussi prendre toutes les valeurs intermédiaires ; par exemple, $\frac{1}{2}$. Mais par définition elle ne peut prendre que deux valeurs, $0$ et $1$ ! La seule possibilité est donc qu’elle ne prend qu’une seule valeur, c’est-à-dire qu’elle est constante.