Continuité de la dérivation

Notons que la dérivation est linéaire, donc la continuité de la dérivation est équivalente à la continuité en 0 (ici, le 0 de l’espace vectoriel $C^{\infty}([0,1],\R)$, c’est-à-dire la fonction constante égale à 0). C’est-à-dire : pour tout $\varepsilon >0$, il existerait un $\delta >0$, tel que pour toute fonction $f:[0,1]\rightarrow \R$ de classe $C^{\infty}$ telle que $\|f\|\leq \delta$, on ait $\|f'\|\leq\varepsilon$.

Or ceci est faux pour n’importe quel norme. Pour le voir, il nous suffit de trouver des fonctions telles que $\|f'\|$ est arbitrairement plus grand que $\|f\|$. Des candidats naturels sont les fonctions $f_{\lambda}(x)=e^{\lambda x}$. En effet, on a :
$$||f_{\lambda}'||=||\lambda e^{\lambda x}||=|\lambda| \|e^{\lambda x}\|=|\lambda|\|f_{\lambda}\|.$$

Maintenant, si on prend $\varepsilon>0$, et qu’on fixe $\delta >0$, le problème des fonctions $f_{\lambda}(x)=e^{\lambda x}$ est que leur norme n’est pas forcément inférieure ou égale à $\delta$.
On peut donc juste normaliser et multiplier par $\delta$ pour que ce soit le cas : on pose
$$g_{\lambda}(x)=\frac{\delta e^{\lambda x}}{||e^{\lambda x}||}$$

et automatiquement leur norme est exactement $\delta$ ; et on a toujours la condition $\|g_{\lambda}'\|=|\lambda|\|g_{\lambda}\|$.
En prenant $\lambda>\varepsilon/\delta$, on obtient donc que $\|g_{\lambda}\|\leq\delta$ mais $\|g_{\lambda}'\|>\varepsilon$, ce qui brise la continuité.