Contre-exemple : les dérivées directionnelles n’impliquent pas la continuité

1. Soit $v=(v1,v2)\in \mathbb{R^{2}}$, on a $f(0,0)=0$ donc
   $$Df(0,0)(v) = \lim_{t\to 0} \frac{f((0,0)+tv)}{t} = \begin{cases} \displaystyle\lim_{t\to0} \dfrac{t\dfrac{v_2^2}{v_1}}{t} = \dfrac{v_2^2}{v_1} & \text{si } v_1\neq 0,\\[1em] \displaystyle\lim_{t\to0} \dfrac{tv_2}{t} = v_2 & \text{si } v_1=0. \end{cases}$$Donc les dérivées directionnelles de $f$ en $(0,0)$ existent dans toutes les directions $v$.
2. Considérons les suites
   $$x_n=\frac1{n^2}, \qquad y_n=\frac1n.$$Alors
   $$(x_n,y_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} (0,0).$$Si $f$ était continue en $(0,0)$, on aurait
   $$f(x_n,y_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} f(0,0)=0.$$

Or
$$f(x_n,y_n) = \frac{y_n^2}{x_n} = \frac{\frac1{n^2}}{\frac1{n^2}} = 1,$$d’où
$$\lim_{n\to+\infty}f(x_n,y_n)=1\neq 0.$$Donc $f$ n’est pas continue en $(0,0)$.