Convergence de $(e^{in\theta})_{n\in\N}$

On note $l$ la limite de $(e^{in\theta})_n$. Ainsi $(e^{i(n+1)\theta})_n$ est une sous-suite de $(e^{in\theta})_n$ donc converge aussi vers $l$. Cependant on a aussi que $e^{i(n+1)\theta}=e^{i\theta}e^{in\theta}$ qui va alors tendre vers $e^{i\theta}l$ à l’infini.

Or, par continuité de $z\longmapsto\vert z\vert$, on a que $\vert l\vert=1$ donc $l\neq0$ et l’unicité de la limite nous donne donc que $e^{i\theta}=1$, soit que $\theta=0\,[2\pi]$.