Trigonalisation simultanée sur $\mathbb{F}_p$

Solution éclair par Sylow

Deduisez de
$$\bigl|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\bigr|=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(p^{n}-p^{k}\bigr)=p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^{n}\bigl(p^{k}-1\bigr),$$le second facteur étant premier à $p$, que $G$ est un $p$-sous-groupe de Sylow. Comme $U_n(\mathbb{F}_p)$ en est un autre, le deuxième théorème de Sylow les rend conjugués, ce qui conclut immédiatement.