Trigonalisation simultanée sur $\mathbb{F}_p$

Soient $n$ un entier naturel non nul et $p$ un nombre premier.
Soit $G$ un sous-groupe d’ordre $p^{n(n-1)/2}$ de $\text{GL}_{n}(\mathbb F_{p})$ .
Montrer que les éléments de $G$ sont simultanément trigonalisables.

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem2 likes

Liked by

References

Rached Mneimné — Réduction des endomorphismes

Details

Proposition 13.7.A, page 73

Export references

BibTeX JSON

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by visitor

Discussions0 useful votes

Solution éclair par Sylow

Deduisez de
$\bigl|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\bigr|=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(p^{n}-p^{k}\bigr)=p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^{n}\bigl(p^{k}-1\bigr),$ le second facteur étant premier à $p$ , que $G$ est un $p$ -sous-groupe de Sylow. Comme $U_n(\mathbb{F}_p)$ en est un autre, le deuxième théorème de Sylow les rend conjugués, ce qui conclut immédiatement.

Report