Dans la peau de Guillaume Tell

Vous partez à la chasse avec votre arc et vos flèches. Vous appercevez alors un arbre sur lequel trône un singe qui tient une pomme dans ses mains, une aubaine pour vous !

Vous estimez la distance entre l’arbre et vous: $50$ mètres. Au nez, vous voyez que la pomme est à environ $4$ mètres au-dessus du sol. Du haut de votre mètre cinquante, vous prenez une grande inspiration et tendez votre arc sur lequel vous déposez l’unique flèche qui vous permettra d’atteindre votre cible.

Au vu de votre force surhumaine, vous savez que les effets de frottements de l’air seront négligeables. En sachant que l’accélération gravitationnelle est d’environ $10\,m.s^{-2}$ là où vous vous trouvez, quelles sont les conditions initiales de vitesse et de direction qu’il faut donner à la flèche pour qu’elle atteigne la pomme ? On supposera pour cela que le singe, pris de panique en voyant la flèche décochée, va lâcher verticalement sa pomme à l’instant exact où la flèche partira de votre main.
Nano Banana 2026 08 13 17 25 23 (1)

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Catalpa@catalpa

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Solution by Sequoia

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La vitesse minimale nécessaire pour atteindre la pomme est $v_{0,min}=\sqrt{2g(H-h_a)}$ . Formule qui se trouve en résolvant les équations du mouvement de l’indice $2$ en considérant que la flèche touche la pomme à l’instant où cette dernière va toucher le sol (soit le cas minimal). On peut aussi trouver cette solution en utilisant une conservation de l’énergie mécanique au système $\{pomme + flèche\}$ entre l’instant de décochage de la flèche et celui où elle touche la pomme, au sol.

On suppose la condition $v_0\geqslant v_{0,min}$ vérifiée maintenant. En réalité nous n’avons plus besoin de nous inquiéter des équations du mouvement dorénavant, il nous faut simplement considérer le bon référentiel pour résoudre notre système: le référentiel en chute libre. Cela revient à changer $\overrightarrow{r}(t)$ en $\overrightarrow{r}(t)-\frac{1}{2}\overrightarrow{g}t^2$ dans les équations du mouvement.
Dans ce référentiel, la flèche comme la pomme ne subit aucune force extérieure. Leur mouvement est alors rectiligne uniforme: la pomme n’a pas de vitesse initiale donc elle est immobile et la flèche va tout droit. Ainsi il faut simplement viser le point de départ de la pomme afin d’être sûr de l’atteindre.
Cela correspond à un angle $\theta_0$ tel que $\tan(\theta_0)=\frac{H-h_a}{d}=\frac{4-1.5}{50}=\frac{1}{20}$ .

Cette astuce de changement de référentiel nous permet d’éviter de tenir compte de l’attraction gravitationnelle qui nous embête plus qu’autre chose ici: c’est une force constante que tous les systèmes subissent donc on devrait pouvoir ne pas en tenir compte pour répondre aux questionnements physiques. Bien sûr, un raisonnement n’utilisant pas cette astuce serait tout autant valable et amènera au même résultat.

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