De simples images réciproque

On considère $\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R} &\longrightarrow& \mathbb{R} \\ x &\longmapsto & x^{2} \end{array}$ . Déterminer les images réciproques suivantes :

$f^{-1}([0, 1])$
$f^{-1}([1, 4]$ )
$f^{-1}(\mathbb{R_{-}})$

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Solution by SalixBabylonica

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$f^{-1}([0, 1]) = \{ x\in\mathbb{R} \, | \, x^{2}\in [0,1] \}$ ce qui revient à trouver $x\in \mathbb{R}$ tel que $0\le x^2\le1$ donc $0\le x \le 1$ ou $-1\le x \le0$ .
D’où $f^{-1}([0, 1])=[-1,1]$ .
On cherche $x\in \mathbb{R}$ tel que $1 \le x^2 \le4$ donc $1 \le x \le2$ ou $-2 \le x \le-1$ . D’où $f^{-1}([1, 4] = [-2,-1] \cup [1,2]$ .
On cherche $x\in \mathbb{R}$ tel que $x^{2}\le 0$ , ce qui n’est vrai que pour $x=0$ . Donc $f^{-1}(\mathbb{R_{-}})= 0$ .

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