Ivan Shishkin, Rye (1878)

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De simples images réciproque

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  1. f−1([0,1])={x∈R ∣ x2∈[0,1]}f^{-1}([0, 1]) = \{ x\in\mathbb{R} \, | \, x^{2}\in [0,1] \} ce qui revient à trouver x∈Rx\in \mathbb{R} tel que 0≤x2≤10\le x^2\le1 donc 0≤x≤10\le x \le 1 ou −1≤x≤0-1\le x \le0.
    D’où f−1([0,1])=[−1,1]f^{-1}([0, 1])=[-1,1].

  2. On cherche x∈Rx\in \mathbb{R} tel que1≤x2≤41 \le x^2 \le4 donc 1≤x≤21 \le x \le2 ou −2≤x≤−1-2 \le x \le-1. D’où f−1([1,4]=[−2,−1]∪[1,2]f^{-1}([1, 4] = [-2,-1] \cup [1,2].

  3. On cherche x∈Rx\in \mathbb{R} tel que x2≤0x^{2}\le 0, ce qui n’est vrai que pour x=0x=0. Donc f−1(R−)=0f^{-1}(\mathbb{R_{-}})= 0.

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