Densité $GL_n(\mathbb{K})$ dans $M_n(\mathbb{K})$.

Soit $A\in M_n(\mathbb{K})$.
La fonction qui a $t\in\mathbb{K}\longmapsto \det(A+tI_n)$ est polynomiale en $t$ et n’est pas identiquement nulle car son coefficient dominant est $\mathrm{det}(I_n)=1$.
Ainsi cette fonction s’annule un nombre fini de fois. Notons $r$ le module de la plus petite racine non-nulle de ce polynôme. On peut ainsi considérer la suite $\left(A+\frac{r}{2^p}I_n\right)_{p\in \N^*}$. C’est une suite de matrices inversibles car leur déterminant est non-nul et elle tend vers $A$.
Ainsi on a réussi à approcher toute matrice de $M_n(\mathbb{K})$ par des matrices inversibles, donc $GL_n(\mathbb{K})$ est dense dans $M_n(\mathbb{K})$.