Densité $GL_n(\mathbb{K})$ dans $M_n(\mathbb{K})$.

Soit $A\in M_n(\mathbb{K})$.
La fonction qui a $t\in\mathbb{K}\longmapsto \det(A+tI_n)$ est polynomiale en $t$ et n’est pas identiquement nulle car son coefficient dominant est $\mathrm{det}(I_n)=1$.
Ainsi cette fonction s’annule un nombre fini de fois. Notons $r$ le module de la plus petite racine non-nulle de ce polynôme. On peut ainsi considérer la suite $\left(A+\frac{r}{2^p}I_n\right)_{p\in \N^*}$. C’est une suite de matrices inversibles car leur déterminant est non-nul et elle tend vers $A$.
Ainsi on a réussi à approcher toute matrice de $M_n(\mathbb{K})$ par des matrices inversibles, donc $GL_n(\mathbb{K})$ est dense dans $M_n(\mathbb{K})$.

Soit $A\in M_n(\mathbb{K})$.

Le nombre de valeurs propres de $A$ est fini. Ainsi, pour $k$ suffisamment grand,
$$\frac{1}{k}\notin \operatorname{Sp}(A).$$

Il existe donc $k_0\in\mathbb{N}$ tel que, pour tout $k\geq k_0$,
$$\frac{1}{k}\notin\operatorname{Sp}(A).$$

Par conséquent,
$$\det\left(A-\frac{1}{k}I_n\right)\neq0,$$et donc
$$u_k=A-\frac{1}{k}I_n\in GL_n(\mathbb{K}) \qquad\text{pour tout }k\geq k_0.$$

Or,
$$\lim_{k\to+\infty}u_k =\lim_{k\to+\infty}\left(A-\frac{1}{k}I_n\right) =A.$$

Ainsi, toute matrice $A\in M_n(\mathbb{K})$ est limite d’une suite de matrices inversibles (à partur d’un certain rang).

On en déduit que
$$\boxed{GL_n(\mathbb{K})\text{ est dense dans }M_n(\mathbb{K}).}$$