Des multiples de $24$

Soit $p > 3$, un nombre premier.

Comme $p$ n’est pas multiple de $2$, nous avons, pour $p$, les possibilités suivantes :
$p \equiv 1 [8]$, $p\equiv 3 [8]$, $p \equiv 5 [8]$ ou $p \equiv 7 [8]$

Dans tous les cas, en élevant au carré les relations de congruences et en utilisant $1 \equiv 9 \equiv 25 \equiv 49 [8]$, on a : $p^{2} \equiv 1 [8]$, donc $p^{2} - 1 \equiv 0 [8]$ ou encore $8 \mid p^{2} - 1$

Comme $p$ n’est pas multiple de $3$, on a $p \equiv 1 [3]$ ou $p \equiv 2[3]$
Dans tous les cas, en élevant au carré et en utilisant $4\equiv 1 [3]$ : $p^{2} \equiv 1 [3]$
C’est-à-dire $3 \mid p^{2} - 1$

Comme $3$ et $8$ sont premiers entre-eux : $24 = 8 \cdot 3 \mid p^{2} - 1$