Coins in the river

Once upon a time in an ancient kingdom, lived twenty lords, all equally rich.

As the years passed, they came to die, one at once. The gold coins of the deceased were then equally split among the still living lords. As for the remaining coins that could not be equally split, it had been decided that they would be thrown in the river, to prevent conflicts.

The time flew by, until only one lord was left.

Many many years later, one found two chronicles telling those events.
According the first chronicle, 172 gold coins had been found in the river.
According the second chronicle, no gold coin had ever been thrown in the river.

Which one of the two chronicles is necessarily false?
Assuming that the other one is true, what was the minimal wealth or each twenty lords?

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Solution by VintzFR

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Après la mort du premier seigneur, sa fortune doit se partager parmi les 19 restants. La division euclidienne nous assure que le reste est inférieur à 18.
A la mort du second, c’est au maximum 17 pieces qui seront ajoutées.
Ainsi de suite jusqu’à la mort de l’ante penultième ou un maximum de 1 pièce sera jetée a la rivière puisque seulement deux seigneurs resteront en vie.
Ainsi au maximum, 171 pièces seront dans la rivière. La première chronique était une "fake news"😉.

Si chaque seigneur ne possédait aucune pièce le processus de partage conduit effectivement à l’absence de pièce dans la rivière.

Si ce minimum paraissait trop trivial, on pourrait chercher le minimum "vital" pour des seigneurs qui ne se seraient pas retrouvés dans le plus grand dénuement.

Initialement il y a une somme totale de pièce que l’on peut noter $S$ . On suppose dorénavant que $S\neq0$ .
Dans la mesure ou les 20 seigneurs possèdent un nombre égal de pièce $20\mid S$ . De même après la mort du premier seigneur, les 19 restant se partagent la somme totale (aucune pièce dans la rivière) donc $19\mid S $.
Au final, la plus petite somme totale divise $2,3,...,20$ . $S=ppcm(2,3,...20)$ . La plus petite somme individuelle que les 20 seigneurs doivent posséder initialement est donc :
$s=\frac{ppcm(2,3,...,20)}{20}=11639628\;\text{pièces}$

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