Détermination géométrique d’une solution de l’équation $x^{2}+px=q$

Soit $x$ un nombre réel positif tel que $x^{2}+px=q$.
On crée une figure comme dans l’énoncé, telle que le côté du carré vert soit de longueur $x$, et la largeur des rectangles bleus soit de longueur $\frac{p}{2}$.

Ce faisant, l’aire du carré vert plus les aires des deux rectangles bleus sont égales à $x^{2}+px$, et ceci est égal à $q$ par hypothèse.

En ajoutant le petit carré rouge de côté $\frac{p}{2}$, on obtient un grand carré de côté $x+\frac{p}{2}$. Or en ajoutant toutes les aires, il est d’aire
$$x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=q+\frac{p^{2}}{4}$$

D’où en passant à la racine, le côté du grand carré est :
$$x+\frac{p}{2}=\sqrt{q+\frac{p^{2}}{4}}$$Et finalement on aboutit à :
$$x=\sqrt{q+\frac{p^{2}}{4}}-\frac{p}{2}.$$

Noter que ceci est bien la racine strictement positive que l’on obtiendrait en utilisant le discriminant^EN.

Vérification

Repartons de l’équation $x^{2}+px-q=0$.
Le discriminant est donné par :
$$\Delta=p^2-4(-q)=p^2+4 q>0.$$Il y a donc deux racines, données par :
$$x_1=\frac{-p-\sqrt{p^2+4 q}}{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}, \quad x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}$$Et cette deuxième racine $x_{2}$ est exactement le $x$ trouvé dans l’exercice ; elle est strictement positive puisque
$$\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}>\sqrt{\frac{p^2}{4}}=\frac{p}{2}.$$