Deux angles adjacents... que font les droites ?

Par hypothèse les deux segments $[BC]$ et $[BD]$ font chacun un angle droit avec [AB]. Par conséquent la somme $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}$ est égale à deux angles droits.

Effectuons un raisonnement par l’absurde, en supposant que $[BC]$ et $[BD]$ n’appartiennent pas à la même droite, et en montrant que ceci est impossible.

Si $[BC]$ et $[BD]$ n’appartiennent pas à la même droite, alors nous pouvons construire un point $E$ se situant dans le prolongement de $[BC]$, à l’opposé de C par rapport à $(AB)$. L’angle $\widehat{ABE}$ est une partie de l’angle $\widehat{ABE}$ , donc $\widehat{ABD}>\widehat{ABE}$ (1).

Par ailleurs, nous pouvons montrer que, les trois points $A$, $B$ et $C$ faisant partie de la même droite, la somme des angles $\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$ est égale à deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?)

Ainsi; la somme $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}$ est égale à deux angles droits, et la somme $\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$ est égale à deux angles droits. Nous pouvons donc en déduire que $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$ , d’où $\widehat{ABD}=\widehat{ABE}$. Ceci est en contradiction avec (1).

Donc les segments $[BC]$ et $[BD]$ doivent appartenir à la même droite.