Deux distances, une seule place ?

Soit un segment AB. De ses deux extrémités A et B, on construit deux lignes droites non parallèles se coupant , au-dessus de AB, en C.
Montrer que si l’on trace deux autres droites non parallèles à partir de A et B qui se coupent en un point D du même côté de AB, tel que AD=AC et BD=BC , forcément les points D et C sont confondus (autrement dit, au-dessus de AB, il n’existe qu’un point unique C à deux distances données de A et B).

NB : comme pour d’autres propositions d’Euclide, qui sont toutes construites pas à pas, celle-ci peut dérouter car elle peut sembler évidente. Pour comprendre Euclide, il faut faire l’effort de ne rien accepter qui ne soit établi par démonstration (pour creuser cet aspect , voir le problème en géométrie qu’est-ce qui m’autorise à dire que quelque chose est vrai)

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Euclide — Éléments

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Livre 1, théorème 4, proposition 7

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Solution by goldfinch

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Pour montrer qu’il n’existe qu’un point unique, nous allons supposer que l’existence d’un autre point D avec des distances $AD$ et $BD$ identiques à $AC$ et $BC$ , est impossible.

S’il existait un autre point $D$ , différent de $C$ , $D$ serait forcément, soit sur une des droites $AC$ ou $BC$ , soit à l’intérieur du triangle $ABC$ , soit à l’extérieur du triangle $ABC$ . Examinons successivement ces trois cas.

Cas où $D$ se trouve sur un des deux segments $AC$ ou $BC$ .
Prenons par exemple le cas de « $D$ sur $AC$ » (l’autre situation est identique).

Cette situation est impossible vu que $D$ ne peut être à la fois intérieur à $AC$ et vérifier $AD=AC$ .

Cas où $D$ se trouve à l’intérieur du triangle $ABC$ .
Construisons deux points $E$ et $F$ dans le prolongement de $BC$ et de $BD$

Dans ce cas, nous nous retrouvons avec deux triangles isocèles : $DAC$ isocèle en $A$ (vu que $AD=AC$ par définition) et $DBC$ isocèle en $B$ ( $BD=BC$ ).
Le triangle isocèle $DAC$ a ses deux angles sur la base $DC$ qui sont égaux (voir problème "égalité des angles dans un triangle isocèle") donc $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (1)
Or l’angle $\widehat {ACD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCE}$ donc $\widehat {ACD}<\widehat {DCE}$ . Ainsi avec (1) on en déduit que
$\widehat {ADC}<\widehat {DCE}$ (2)
Par ailleurs l’angle $\widehat {CDF}$ est une partie de l’angle $\widehat {ADC}$ donc $\widehat {CDF}<\widehat {ADC}$ , ce qui couplé avec (2) donne
$\widehat {CDF}<\widehat {DCE}$ (3)
Enfin, passons au triangle isocèle $DBC$ . Celui-ci a ses deux angles $\widehat {BDC}$ et $\widehat {BCD}$ égaux mais surtout , ce qui nous intéresse particulièrement ici, ses deux angles sous la base $CD$ sont aussi égaux (voir problème "égalité des angles dans un triangle isocèle") , soit $\widehat {CDF}=\widehat {DCE}$ , ce qui est incompatible avec (3)

Cas où $D$ se trouve à l’extérieur du triangle $ABC$ .

Considérons les deux triangles : $CAD$ isocèle en $A$ (par définition $AD=AC$ ) et $CBD$ isocèle en $B$ ( $BD=BC$ ). Les angles sur la base de ces deux triangles sont donc égaux : $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (4) et $\widehat {BDC}=\widehat {BCD}$ (5) . Or, par construction, l’angle $\widehat {ADC}$ est une partie de l’angle $\widehat {BDC}$ donc $\widehat {ADC}<\widehat {BDC}$ , et l’angle $\widehat {BCD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCA}$ donc $\widehat {BCD}<\widehat {DCA}$ , ce qui est incompatible avec (4) et (5)

Conclusion : les trois cas de figure étudiés sont impossibles donc $D=C$

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