Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/GeometryExerciseUnreviewed

En géométrie, qu’est-ce qui m’autorise à dire que quelque chose est vrai ?

by goldfinch·
5
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Nous allons nous exercer ici à détecter dans un problème de géométrie ce qui est de l’ordre d’une "donnée" du problème, ce qui est de l’ordre de "l’observé" et ce qui est de l’ordre de "l’établi".
Une donnée (D) d’un problème est quelque chose qui est fixé par l’énoncé du problème.
L’observé (O) est quelque chose qu’on peut voir sur une figure, une chose pour laquelle on a envie de dire "mais ça se voit".
L’établi (E) est quelque chose qui a été prouvé par un raisonnement fait à partir de données et/ou d’autres éléments établis eux aussi (définitions, axiomes, éléments établis par des démonstrations précédentes....) .
Tout le monde connaît cette difficulté en géométrie : être en face de situations où on a envie de dire "mais c’est évident, ça se voit..." alors qu’il faut quand même faire une démonstration pour le prouver. Cet exercice vise à nous entraîner à bien distinguer ces trois statuts.

Nous n’allons pas ici répondre à une question particulière, mais essayer de déterminer quel est le statut (D, O ou E) des affirmations suivant les différents énoncés.

Enoncé 1.
Soient trois points distincts A, B et C formant un triangle, et soit M le milieu de AB.
(une figure accompagne l’énoncé)

image

  1. AM=MB
  2. Le triangle est isocèle en C.
  3. AC=AB=BC
  4. AB=AM+MB
  5. Le triangle est équilatéral.

Enoncé 2.
Soient trois points distincts A, B et C formant un triangle, et soit M le milieu de AB.
(une figure accompagne l’énoncé)

image

  1. AM=MB
  2. M est à mi-distance entre A et B
  3. AC=AB
  4. AB=AM+MB
  5. AM=MB

Enoncé 3.
Soient trois points distincts A, B et C formant un triangle. Soit M appartenant au segment AB.
(une figure accompagne l’énoncé)
image

  1. AM=MB
  2. Le triangle ABC est rectangle en B.
  3. AB=AM+MB
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Solution by goldfinch

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  1. Cela découle directement de la définition du milieu ----- E

  2. Le triangle "parait" isocèle sur la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ----- O

  3. les trois longueurs "paraissent" identiques sur la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ----- 0

  4. Cela découle directement du fait que M est sur AB (vu qu’il est milieu de AB) ---------- E

  5. Le triangle "parait" équilatéral sur la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ----- O

  6. Cela découle directement de la définition du milieu ----- E

  7. C’est la définition du milieu (ou cela en découle directement suivant la définition que l’on prend ) ----- D ou E

  8. Cela pourrait être interprété en regardant la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ---- O

  9. Cela découle directement du fait que M est sur AB (vu qu’il est milieu de AB) ---------- E

  10. Cela découle directement de la définition du milieu ----- E

  11. M "parait" être au milieu de AB sur la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ------ O

  12. Le triangle "parait" rectangle sur la figure mais rien ne l’indique dans l’énoncé ----- O

  13. Cette relation découle du fait que M est sur AB ---------- E

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