Deux théorèmes de Mertens sur les nombres premiers (deux d’un coup !)

On désigne par $\mathbb{P}$ l’ensemble des nombres premiers.
On désigne par $\mathbb{P}_n$ l’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$.
On désigne par $\gamma$ la constante d’Euler-Mascheroni définie par $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k}-\ln(1+\frac{1}{k})\right).$

Pour $x\in [1;+\infty[$, on définit $\displaystyle g(x)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\left(-\ln(1-\frac{1}{p^{x}})-\frac{1}{p^{x}}\right)$

Montrez que $g(1)$ est défini.

A partir de cette expression de $g(x)$, retrouvez ces deux fameux théorèmes de Mertens :

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sum_{p\in\mathbb{P}_n}\frac{1}{p}-\ln(\ln(n)=\gamma-g(1)$
et
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\ln(n)\prod_{p\in\mathbb{P}_n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\mathrm{e}^{-\gamma}$