Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Metric spaceExerciseUnreviewed

Distance carrée

by Ancient Tree·
27
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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On considère la fonction d:R×R→R+d:\R\times \R \rightarrow \R^{+} définie comme d(x,y)=(x−y)2d(x,y)=(x-y)^{2}.
S’agit-il une distance ?

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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dd est bien à valeurs positives ; ensuite, vérifions les axiomes d’une distance :

  1. Séparation : d(x,y)=0d(x,y)=0 signifie que (x−y)2=0(x-y)^{2}=0, ce qui est équivalent à ce que x=yx=y.

  2. Symétrie : d(x,y)=(x−y)2=(y−x)2=d(y,x)d(x,y)=(x-y)^{2}=(y-x)^{2}=d(y,x) puisque la fonction carré est paire.

  3. Alors qu’en est-il de l’inégalité triangulaire ? Malheureusement, elle n’est pas vérifiée ! Prenons par exemple
    x=−1,y=0,z=1.x=-1,y=0,z=1.Alors :
    d(x,z)=4tandis qued(x,y)+d(y,z)=2.d(x,z)=4\quad \text{tandis que}\quad d(x,y)+d(y,z)=2.Donc on n’a pas l’inégalité triangulaire, qui voudrait que
    d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).

Donc dd n’est pas une distance.

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