Distance carrée

$d$ est bien à valeurs positives ; ensuite, vérifions les axiomes d’une distance :

1. Séparation : $d(x,y)=0$ signifie que $(x-y)^{2}=0$, ce qui est équivalent à ce que $x=y$.

2. Symétrie : $d(x,y)=(x-y)^{2}=(y-x)^{2}=d(y,x)$ puisque la fonction carré est paire.

3. Alors qu’en est-il de l’inégalité triangulaire ? Malheureusement, elle n’est pas vérifiée ! Prenons par exemple
   $$x=-1,y=0,z=1.$$Alors :
   $$d(x,z)=4\quad \text{tandis que}\quad d(x,y)+d(y,z)=2.$$Donc on n’a pas l’inégalité triangulaire, qui voudrait que
   $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$

Donc $d$ n’est pas une distance.