Diviseurs de zéro dans un anneau commutatif

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Soit $A\neq\{0\}$ un anneau commutatif et $D:=\{a\in A/ \exists x \in A\backslash\{0\}, ax=0\}$ l’ensemble de tous les diviseurs de zéro.

Montrer que $D$ n’est jamais vide. On considère désormais que $D$ contient $n\geqslant 2$ éléments.
Montrer que $A$ contient au plus $n^{2}$ éléments.
Montrer que pour nombre premier $n$ , il existe un anneau $A$ contenant $n$ diviseurs de zéro et $n^{2}$ éléments.

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