Endomorphisme et tous ses vecteurs propres

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ tel que, pour tout $x$ $\in E\backslash \{0\}$ , $x$ est un vecteur propre^EN de $u$ .

Que doit être $u$ ?

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Catalpa@catalpa

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Solution by Anduril · translated by Catalpa

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Pour tout $x$ différent de $0$ il existe un unique $\lambda_{x}$ tel que $f(x)=\lambda_{x}x$ . Montrons que ce scalaire est indépendant de $x$ .
Prenons $x$ et $y$ .
S’ils sont proportionnels, le résultat est évident.
Supposons qu’ils ne sont pas proportionnels : $f(x)+f(y)=f(x+y)=\lambda_{x+y}(x+y)$
Ainsi, $\lambda_{y}y=(\lambda_{x+y}-\lambda_{x})x+\lambda_{x+y}y$
(en faisant la différence des deux précédentes équations).

Enfin, nous concluons en utilisant la liberté de la famille $(x,y)$ .

Donc les solutions sont les $\lambda Id$ , avec $\lambda$ des scalaires.

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