Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/TopologyExerciseUnreviewed

Espace sans base dénombrable

by Ancient Tree·
48
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Trouver une topologie sur R\R sans base dénombrable.

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Solution by Ancient Tree

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On cherche une topologie avec beaucoup trop d’ouverts. Naturellement, on se tourne vers la topologie discrète, où toute partie de R\R est un ouvert.

Cette topologie n’est pas à base dénombrable. En effet : les singletons {x}\{x\} sont des ouverts, donc une base B\mathcal{B} doit nécessairement contenir chaque singleton (les singletons ne peuvent pas être écrits comme une union d’ouverts plus grands...). Comme une base doit contenir tous les singletons, elle est nécessairement indénombrable.

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