Espace sans base dénombrable

On cherche une topologie avec beaucoup trop d’ouverts. Naturellement, on se tourne vers la topologie discrète, où toute partie de $\R$ est un ouvert.

Cette topologie n’est pas à base dénombrable. En effet : les singletons $\{x\}$ sont des ouverts, donc une base $\mathcal{B}$ doit nécessairement contenir chaque singleton (les singletons ne peuvent pas être écrits comme une union d’ouverts plus grands...). Comme une base doit contenir tous les singletons, elle est nécessairement indénombrable.