Etude d’une série entière à l’aide d’une équation différentielle

1. On va utiliser le critère de d’Alembert : à $x$ fixé, le terme général de la série est $u_{n}=\frac{x^{3n}}{(3n)!}$. On obtient :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{x^{3}}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}\rightarrow 0$$donc d’après le critère de d’Alembert, la série converge pour tout $x$ réel.

2. Une série entière est indéfiniment dérivable sur son disque de convergence, et sa dérivée s’obtient en dérivant terme à terme. On obtient :
   $$f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n x^{3n-1}}{(3n)!}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}$$et de même, comme le rayon de convergence de la série dérivée est égal au rayon de convergence de la série initiale, on obtient :
   $$f''(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}$$

On s’aperçoit que $f$ a ses coefficients non nuls pour les entiers de la forme $3n$ ; pour $f'$, ce sont les $3n-1$, et pour $f''$ ce sont les $3n-2$. Ainsi, en additionnant ces trois séries entières, on couvre tous les termes ; et on obtient :
$$f(x)+f'(x)+f''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\exp(x).$$

3. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2. On applique la méthode standard :
   $\star$ on commence par résoudre l’équation différentielle homogène associée, $f+f'+f''=0$, en résolvant l’équation caractéristique $1+X+X^{2}=0$, qui admet deux racines complexes $X=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$.
   Les solutions réelles de l’équation homogène sont donc les
   $$\exp(-x/2)\left(A\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+B\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)$$$\star$ on détermine une solution particulière de l’équation différentielle originale : ici, on pourrait partir sur la méthode de la variation de la constante, mais plus simplement, on s’aperçoit que $\exp(x)/3$ fonctionne.
   $\star$ les solutions de l’équation différentielle sont donc les
   $$\frac{\exp(x)}{3}+\exp(-x/2)\left(A\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+B\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)$$

$f$ est donc de cette forme, pour des coefficients $A$ et $B$ à déterminer.
Avec $f(0)=1$, on obtient $A=2/3$ ; en dérivant, on obtient finalement que $f'(0)=0=1/3-(1/2)A+B\sqrt{3}/2$, d’où $B=0$.

Finalement, on a obtenu :
$$f(x)=\frac{\exp(x)+2\exp(-x/2)\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}{3}.$$