Exemples d’inégalités issues de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (1)

Question 1

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On utilise le produit scalaire usuel de $\R^{n}$ pour établir l’inégalité de Cauchy-Scwharz :
$\left(\sum\limits_{k = 0}^n \sqrt{\binom{n}{k}} \right)^{2} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n \sqrt{1} \sqrt{\binom{n}{k}} \right)^{2} \leqslant \sum\limits_{k = 0}^n \sqrt{1}^2 \cdot \sum\limits_{k = 0}^n \ \sqrt{\binom{n}{k}}^{2} = \sum\limits_{k = 0}^n 1 \cdot \sum\limits_{k = 0}^n \ \binom{n}{k}$
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Il ne reste plus qu’à calculer les deux sommes :

• $\sum\limits_{k = 0}^n 1 = n+1$
• $\sum\limits_{k = 0}^n \binom{n}{k} = \sum\limits_{k = 0}^n \binom{n}{k}1^{k} 1^{n-k} =2^{n}$
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  On a bien : $\left(\sum\limits_{k = 0}^n \sqrt{\binom{n}{k}} \right)^{2} = (n+1) 2^{n}$
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Question 2

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On utilise à nouveau le produit scalaire canonique de $\R^{n}$
$n^{2} = \left( \sum\limits_{i= 1}^n 1 \right)^{2} = \left( \sum\limits_{i= 1}^n \sqrt{x_{i}} \frac{1}{\sqrt{x_{i}}} \right)^{2} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}$
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En utilisant l’hypothèse faite sur les $x_{i}$ : $n^{2} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}$
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Question 3

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Cette fois-ci, on utilise le produit scalaire canonique de $\mathcal{C}([0,1],\R)$
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$\left( \int_{0}^1 xf(x) dx \right)^2 \leqslant \int_0^1 x^2dx \cdot \int_0^1 f(x)^2 dx \leqslant \frac 1 2 \int_{0} ^1 f^{2}$