Exemples simples d’espaces topologiques

$\textbf{1)}$ Vrai
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On appelle d’ailleurs $\tau = \{X, \emptyset \}$ la topologie grossière associée à $X$.
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On vérifie tout d’abord que $\emptyset \in \tau$ et $X \in \tau$
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Soit $\{O_{i}\}_{i\in I}$ une famille d’éléments de $\tau$ indexée par $I$, $\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $\mathbb{R}$ alors l’union est $\mathbb{R}$ , sinon si aucun des $O_{i}$ est $\mathbb{R}$ , l’union est l’ensemble vide. Dans les deux cas, l’union est dans $\tau$.

Soit $\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]}$ une famille finie d’éléments de $\tau$, $\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $\emptyset$ alors l’intersection est $\emptyset$ , sinon si aucun des $O_{i}$ est $\emptyset$ , l’intersection est $\mathbb{R}$. Dans les deux cas, l’intersection est dans $\tau$.
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$\textbf{2)}$ Vrai
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On vérifie tout d’abord que $\emptyset \in \tau$ et $X = \{0,1\} \in \tau$
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Soit $\{O_{i}\}_{i\in I}$ une famille d’éléments de $\tau$ indexée par $I$, $\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $X = \{0,1\}$ alors l’union est $\{0,1\}$, sinon si un des $O_{i}$ est $\{0\}$ alors l’union est $\{0\}$ , sinon l’union est l’ensemble vide. Dans les trois cas, l’union est dans $\tau$.

Soit $\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]}$ une famille finie d’éléments de $\tau$, $\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $\emptyset$ alors l’intersection est $\emptyset$, sinon si un des $O_{i}$ est $\{0\}$ alors l’intersection est $\{0\}$ , sinon l’intersection est $X = \{0,1\}$. Dans les trois cas, l’intersection est dans $\tau$.
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$\textbf{3)}$ Faux
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$\emptyset \notin \tau$
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$\textbf{4)}$ Vrai
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On vérifie tout d’abord que $\emptyset \in \tau$ et $X = \{a,b,c\} \in \tau$
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Soit $\{O_{i}\}_{i\in I}$ une famille d’éléments de $\tau$ indexée par $I$, $\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $X = \{a,b,c\}$ alors l’union est $\{a,b,c\}$, sinon si un des $O_{i}$ est $\{a,b\}$ alors l’union est $\{a,b\}$ , sinon si un des $O_{i}$ est $\{a\}$ alors l’union est $\{a\}$ , sinon l’union est l’ensemble vide. Dans les quatre cas, l’union est dans $\tau$.

Soit $\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]}$ une famille finie d’éléments de $\tau$, $\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau$
En effet, si un des $O_{i}$ est $\emptyset$ alors l’intersection est $\emptyset$, sinon si un des $O_{i}$ est $\{a\}$ alors l’intersection est $\{a\}$ , sinon si un des $O_{i}$ est $\{a,b \}$ alors l’intersection est $\{a,b \}$, sinon l’intersection est $X = \{a,b,c\}$. Dans les quatre cas, l’intersection est dans $\tau$.
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$\textbf{5)}$ Faux
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$\tau$ n’est pas stable par intersection finie : $\{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \notin \tau$