Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExerciseReviewed

Une famille libre ?

by SalixBabylonica·
27
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Dans R3\mathbb{R}^3, on considère la famille de vecteurs

x1=(110),x2=(101),x3=(011).x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\qquad x_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.Montrer que (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3) est libre.

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Solutions

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Solution by SalixBabylonica

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Montre que (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3) est libre.
Soit λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tel que λ1x1+λ2x2+λ3x3=0.\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = 0.
Alors on a
λ1(110)+λ2(101)+λ3(011)=(000).\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.Cela revient finalement à résoudre le système suivant :
{λ1+λ2=0,λ1+λ3=0,λ2+λ3=0.\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 0,\\ \lambda_1 + \lambda_3 = 0,\\ \lambda_2 + \lambda_3 = 0. \end{cases}De la première équation, on a λ2=−λ1\lambda_2 = -\lambda_1.
De la deuxième, λ3=−λ1\lambda_3 = -\lambda_1.
En les remplaçant dans la troisième :

λ2+λ3=−λ1−λ1=−2λ1=0⇒λ1=0.\lambda_2 + \lambda_3 = -\lambda_1 - \lambda_1 = -2\lambda_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_1 = 0.

Donc λ2=0\lambda_2 = 0 et λ3=0\lambda_3 = 0.
D’où la famille (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3) est libre.

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